《程序员数学：欧几里德算法》—— 如何编码程序计算最大公约数

作者：小傅哥
博客：https://bugstack.cn (opens new window)
源码：https://github.com/fuzhengwei/java-algorithms (opens new window)

沉淀、分享、成长，让自己和他人都能有所收获！😄

一、前言

嘿，小傅哥怎么突然讲到最大公约数了？

这么想你肯定是没有好好阅读前面章节中小傅哥讲到的RSA算法 (opens new window)，对于与欧拉结果计算的互为质数的公钥e，其实就需要使用到辗转相除法来计算出最大公约数。

放心，你所有写的代码，都是对数学逻辑的具体实现，无非是难易不同罢了。所以如果你真的想学好编程思维而不只是CRUD，那就要把数据结构、算法逻辑等根基打牢。

二、短除法

既然都说到这了，那你还记得怎么计算最大公约数吗，死鬼？

以上这种方式就是我们在上学阶段学习的，这种计算方式叫做短除法。

短除法：是算术中除法的算法，将除法转换成一连串的运算。短除法是由长除法简化而来，当中会用到心算，因此除数较小的除法比较适用短除法。对大部分的人而言，若除以12或12以下的数，可以用记忆中乘法表的内容，用心算来进行短除法。也有些人可以处理除数更大的短除法。—— 来自维基百科 (opens new window)

三、欧几里德算法

短除法能解决计算最大公约数的问题，但放到程序编写中总是很别扭，总不能一个个数字去试算，这就显得很闹挺。其实除了短除法还有一种是计算公约数的办法，叫做欧几里德算法。

欧几里德算法：是计算两个整数（数字）的最大公约数【GCD(Greatest Common Divisor)】的有效方法，即能将它们整除而无余数的最大数。它以古希腊数学家 欧几里得的名字命名，欧几里德在他的几何原本（约公元前 300 年）中首次描述了它。它是算法的示例，是根据明确定义的规则执行计算的分步过程，并且是常用的最古老的算法之一。它可以用来减少分数到他们的最简单的形式，并且是许多其他数论和密码计算的一部分。—— 来自维基百科 (opens new window)

GCD，代表了两个数字的最大公约数，GCD(X,Y) = Z，那么就表示 X 和 Y 的最大公约数是 Z。由欧几里德算法给出 GCD(X,Y) = GCD(Y,XmodY) —— mod 表示求模计算余数。

其实简单来说就是，X和Y的公约数是Z，那么Y和Z的公约数也是Z。24和18的最大公约数是6，那么18和6的公约数也是6。嘿，就这么一个事。但就因为有了这一样一条推论，让编程代码变得优雅舒服，只需要不断地将X、Y两数作差，就能计算最大公约数。

😂 这让小傅哥想起，多年前上学时候，我也给出过一条推论；”任意一组所能构成等差数列的三个数字，所能组合出来的一个三位数，都能被3整除。“ 例如：等差数列 16、31、46 组合成三位数 463116 或者 461631 都能被3整除。

四、辗转相除法代码实现

欧几里德算法 = 辗转相除法法：https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm (opens new window)

在辗转相除法的实现中，计算最大公约数的方式，就是使用一个数字减去另外一个数字，直到两个数字相同或者有其中一个数字为0，那么最后不为零的那个数字就是两数的最大公约数。

小傅哥在这里提供了2种计算方式，一种是循环另外一种是递归。—— 方便很多看不懂递归的小伙伴可以用另外的方式学习。

1. 循环实现

public long gcd01(long m, long n) {
    m = Math.abs(m);
    n = Math.abs(n);
    
    while (m != 0 && n != 0 && m != n) {
        if (m > n) {
            m = m - n;
        } else {
            n = n - m;
        }
    }
    return m == 0 ? n : m;
}

• 两数循环处理中，条件为 m != 0 && n != 0 && m != n 直至循环结束。

2. 递归实现

public long gcd02(long m, long n) {
    if (m < n) {
        long k = m;
        m = n;
        n = k;
    }
    if (m % n != 0) {
        long temp = m % n;
        return gcd02(n, temp);
    } else {
        return n;
    }
}

• 计算方式逻辑和条件是一样的，只不过这个是使用了递归调用的方式进行处理。

3. 测试验证

@Test
public void test_euclidean() {
    Euclidean euclidean = new Euclidean();
    System.out.println(euclidean.gcd01(124, 20));
    System.out.println(euclidean.gcd02(124, 20));
}

测试结果

4
4


Process finished with exit code 0

• 计算 124 和 20 的最大公约数，两个计算方式结果都是 4 。好的，到这测试通过。
• 这并不是一个很难的知识点，但当你做一些技术分享、答辩述职等时候，能这样用技术语言而不是大白话的讲述出来后，其实高度就有了。兄弟！👬🏻

五、常见面试题

• 最大公约数的使用用途？
• 如何使用代码实现最大公约数计算？
• 你是否了解欧几里德算法？
• 关于数论你还记得多少？
• RSA 加密算法为什么需要用到公约数计算？

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• 欧几里德算法：https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm (opens new window)
• 线性组合：https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination (opens new window)
• 贝祖定理：https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity (opens new window)